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Zhang 등⁽⁵⁾과 Gomez 등⁽⁸⁾은 슬러그 유동을 기포 영역과 액체 슬러그 영역, 두 가지로 구분지어 각각의 영역에 대해 압력강하를 계산하고, 이를 이용해 전체 슬러그 유동의 압력강하 예측을 위한 역학 모델을 개발하였다. 본 연구에서 목표로 하는 플러그 유동은 슬러그 유동과는 달리 기포의 꼬리가 길게 형성되므로 세 가지 영역으로 구분하였으며 이는 각각 기포의 꼬리(Bubble tail) 영역, 기포의 몸체(Bubble body) 영역, 액체 플러그(Liquid plug) 영역이다. 플러그 유동은 이러한 세 가지 영역이 연속적으로 지나가는 형태를 가진 유동이기 때문에 각 영역의 압력강하를 계산하여 전체 플러그 유동의 압력강하를 예측하는 역학 모델을 개발하였다.

Fig. 3은 플러그 유동을 세 가지 영역으로 구분하여 나타낸 개념도이며 영역별 길이와 각 상의 속도를 표시하였다. 다음은 본 연구의 플러그 유동 압력강하 역학 모델의 주요 가정들이다.

Fig. 3 
Schematic of plug unit cell

• ① 플러그 이상 유동은 정상상태, 비압축성, 완전 발달 유동이다.
• ② 관의 벽면은 단열이다.
• ③ 액체 플러그 영역의 기포 분율은 0이다.
• ④ 기포 몸체 영역에서 액체 필름의 높이는 일정하며 기포꼬리 영역에서는 수력도약현상이 없고 액체 필름의 높이가 선형적으로 변한다.
• ⑤ 기포 꼬리의 최소 두께는 1 mm이다.
• ⑥ 기포 꼬리 속도 u_tg는 기포 몸체 속도 u_bg와 같다.
• ⑦ 플러그 유동의 각 영역별 기체상, 액체상의 유체 속도는 일정하다.

초기에 투입되는 기체상과 액체상의 겉보기 속도(J_g, J_f)에 따라 플러그 유동의 기포 꼬리 길이(L_t), 기포 몸체 길이(L_b) 및 액체 플러그의 길이(L_p)가 달라지므로 하나의 플러그 단위 셀(Plug unit cell)의 압력강하는 다음과 같이 계산된다.

Fig. 4는 원형 파이프 내부 플러그 유동의 3D 형상과 액체필름의 높이 h가 관의 반지름 r보다 큰 경우의 단면도 그리고 작은 경우의 단면도 및 측면도이며 각 상별 접수길이 S (Wetted perimeter)와 유동 단면적 A 그리고 전단 응력 τ (Shear stress)를 표시하였다. 이를 이용하면 플러그 유동의 각 영역별 압력강하는 식 (2)와 같이 나타낼 수 있다.

Fig. 4 
Schematic of mechanistic model with wall and interfacial shear stress components

여기서 하첨자 f는 액체, g는 기체 그리고 k는 플러그 유동의 각 영역을 의미한다.

액체 필름 높이 h와 관 반지름 r의 관계에 따라 각 상별 주변 길이 S와 유동 단면적 A를 다음과 같이 계산할 수 있다.

i) h ≥ r

ii) h < r

한편, 관의 단면에서 전체 면적당 각 상별 면적비(기체상은 기포 분율(Void fraction), 액체상은 액체부피비(Liquid holdup)를 α로 두면 다음 식이 만족된다.

여기서 하첨자 t, b, p는 각각 기포의 꼬리 영역, 기포의 몸체 영역, 그리고 액체 플러그 부분을 의미한다. 또한 기체상과 액체상의 겉보기 속도(J_g, J_f)는 식 (11)의 관계를 만족한다.

여기서 u_m은 혼합 유체속도(Mixture velocity)이며 가정 ①에 의해 다음 식이 만족한다.

식 (2)를 이용하여 플러그 유동의 각 영역별 압력강하를 구하면 다음과 같다.

가정 ③으로 인해 액체 플러그 영역에서의 압력강하 식 (16)은 벽과 액체상의 마찰압력강하식으로만 계산된다. 벽과의 마찰 전단 응력은 Bhatti와 Shah⁽⁹⁾가 제안한 방식을 사용하였으며 다음과 같다.

여기서 f는 마찰 계수(friction factor)이고 상수 C₁, C₂, C₃는 각각 층류 조건(Re≤2100)에서 C₁=0, C₂=16, C₃=1, 천이 조건(2100< Re≤4000)에서 C₁=0.0054, C₂=2.3×10^-8, C₃=-2/3, 난류 조건(Re>4000)에서 C₁=0.00128, C₂=0.1143, C₃=3.2154이다.

각 상에 대한 수력 직경은 다음 식으로 계산하였다.

측정된 실험값들을 바탕으로 플러그 유동에서 공기와 오일의 겉보기 속도(J_g, J_f)에 따른 기포 몸체 속도(ubg)와 기포 몸체 길이(L_b), 기포 꼬리 길이(L_t) 그리고 액체 필름의 높이(h)에 관한 상관식을 구하였다.

간헐적 유동 영역에서 기포의 속도는 Nicklin 등⁽¹¹⁾이 제안한 액체 플러그/슬러그 속도를 이용한 상관식 (20)을 이용하여 예측이 가능하다.

식 (20)은 수직관에서의 기포의 상승 속도 u_B에 관한 식인데 액체 플러그/슬러그 부분의 속도 u_L과 실험 상수 C₀, 그리고 중력과 관계있는 드리프트 속도(Drift velocity) u_d로 이루어져 있다.

Foletti 등⁽¹⁾은 내경 22 mm의 수평관과 공기-오일을 이용하여 플러그/슬러그 이상 유동 실험을 수행하였고 식 (20)에서 C₀가 2.14, u_d가 0일 때 간헐적 유동의 기포 속도를 잘 예측한다고 주장하였다. Nicholson 등⁽¹²⁾은 내경 51.2 mm 수평관에서 간헐적 유동에 대한 실험을 수행하였고 수평관 일지라도 중력의 영향이 있을 거라 가정하여 C₀는 1.128, u_d는 0.28인 상관식을 제시하였다. 또한 Cook과 Behnia⁽¹³⁾는 공기-물을 이용한 슬러그 이상 유동 실험을 수행하고 C₀가 1.2, u_d가 0일 때 기포 속도를 잘 예측함을 보여주었다. 본 연구에서는 내경 40 mm의 수평관에서 공기와 오일을 이용한 플러그 이상 유동만을 대상으로 실험을 수행하였고 측정된 기포 속도가 이전 상관식들로 예측한 기포 속도와 큰 차이가 있음을 확인하여 새로운 상관식을 구하였다.

본 연구에서 u_L에 해당하는 액체 플러그 속도 u_pf는 가정 ③으로 인해 식 (12), (13)에서 혼합 유체속도 u_m과 같다는 것을 알 수 있다. 수평관에서의 기포 속도는 중력과 관련있는 드리프트 속도를 무시할 수 있으므로 u_d를 0으로 두면 실험 상수 C₀이 1.713일 때 즉, 식 (21)이 실험에서 측정한 기포 몸체의 속도를 잘 예측한다는 것을 확인하였다.

Fig. 5는 실험에서 측정한 기포 몸체 속도를 본 연구에서 제안한 상관식 및 이전 상관식들로 예측한 값들과 비교한 그래프를 나타낸다.

Fig. 5 
Measured bubble body velocity relative to mixture velocity, and comparisons with previous bubble body velocity correlations

실험에서 측정한 기포 몸체 속도를 이용하여 기포 몸체 길이와 기포 꼬리 길이를 계산하였다. 공기의 겉보기 속도가 증가할 때 기포 몸체 길이는 증가하였고 반대로 기포꼬리 길이는 감소하였다. 하지만 오일의 겉보기 속도가 증가할 때는 기포 몸체 길이와 기포 꼬리 길이 모두 감소하였다. Fig. 6(a)와 (b)는 유체의 겉보기 속도에 따른 기포 몸체 길이 및 기포 꼬리 길이의 실험 결과를 나타내며, 각각 다음과 같은 상관식 (22), (23)으로 나타낼 수 있다.

Fig. 6 
Measured (a) length of bubble body and (b) length of bubble tail relative to a combination of superficial gas and liquid velocities

액체 필름의 높이는 기포 몸체의 중간 지점에서 측정하였다. 액체 필름의 높이는 공기의 겉보기 속도가 커질수록 작아졌고 각 상의 겉보기 속도에 따라 19~25 mm 사이로 측정되었다. Fig. 7은 공기 겉보기 속도에 따른 액체 필름 높이와 관 내경 비(h/D)의 실험 결과를 나타낸다. 공기의 겉보기 속도가 커질수록 기포 몸체 영역 한 단면에서의 기포 분율도커지고 무차원 필름 높이(h/D)는 조금씩 감소하게 되어 전체적으로는 식 (24)에 근사한 값을 갖는다.

Fig. 7 
Measured dimensionless film thickness relative to gas superficial velocity

실험으로 구한 상관식들을 이용하여 플러그 유동의 압력강하를 예측할 수 있는데 그 계산 순서는 아래와 같다.

1) 식 (24)와 가정 ④를 이용하여 기포 몸체 영역의 기포 분율 α_bg와 기포 꼬리 영역의 기포 분율 α_tg를 계산할 수 있고 이를 이용하여 기포 몸체 영역과 기포 꼬리 영역의 액체부피비 α_bf, α_tf를 계산한다.

2) 기포 분율 α_bg, α_tg와 식 (21)을 이용하여 식 (12)에서 기포 꼬리 영역의 액체 속도 u_tf와 기포 몸체 영역의 액체 속도 u_bf를 계산한다.

3) 식 (22), (23)을 이용하여 식 (10)에서 액체 플러그 영역의 길이 L_p를 계산한다.

4) 식 (24)와 식 (3)~(8)을 이용하여 각 상별 주변 길이 S와 유동 단면적 A를 구하고 식 (17)~(19)를 이용하여 각 상과 벽과의 전단 응력을 계산한다. 이후 식 (14)~(16)을 이용해 플러그 단위 셀을 구성하는 세 가지 영역의 압력강하를 구하면 하나의 플러그 단위 셀에 대한 압력강하를 식 (1)에 의해 계산할 수 있다.

Fig. 8은 본 연구에서 개발한 플러그 유동 역학 모델로 계산한 압력강하 값을 실험에서 측정한 압력강하 값과 비교한 결과를 나타낸다. 역학 모델로 예측한 압력강하 값은 실험값과 비교하여 평균절대오차(MAE)가 5.66%로 압력강하 값을 잘 예측함을 알 수 있다.

Fig. 8 
Comparison of experimental pressure drop data with predictions of new mechanistic model

Fig. 9(a)와 (b)는 공기와 오일의 겉보기 속도에 따라 플러그 유동 영역별 단위 길이 당 압력강하에 각 영역별 길이 비를 곱한 값을 비교한 그래프이다. 대부분의 유동 조건에서 액체 플러그 영역의 압력강하가 가장 크고 기포 몸체 영역의 압력강하가 그 다음으로 크며 기포 꼬리 영역의 압력강하는 가장 작은 값을 가졌다. 그 원인은 액체 부분의 벽과의 전단응력이 기체 부분의 벽과의 전단응력보다 크고 액체 플러그 영역과 기포 몸체 영역의 길이가 기포 꼬리 영역의 길이보다 길기 때문이다.

Fig. 9 
Contribution of each plug flow region to total pressure drop of plug unit cell for different (a) oil and (b) gas superficial velocities

Fig. 9(a)를 보면 공기의 겉보기 속도가 일정하고 오일의 겉보기 속도가 증가할 때 기포 몸체와 기포 꼬리 영역에서의 압력강하는 큰 변화가 없지만 액체 플러그 영역의 압력강하는 크게 증가하여 전체 압력강하가 증가하는 것을 알 수 있다. 액체 플러그 영역의 압력강하가 증가한 원인은 오일의 겉보기 속도가 증가함에 따라 액체 속도 u_pf가 빨라지고 이로 인해 오일과 벽과의 마찰 전단응력이 크게 증가하였기 때문이다. 기포 몸체 영역 역시 액체 속도 u_bf가 빨라지고 이로 인해 오일과 벽과의 전단응력이 커졌으나 기포 몸체 영역의 길이가 감소하여 기포 몸체 영역의 압력강하는 증가하지 않았다. 액체 속도 u_tf도 증가하지만 기포 꼬리의 길이가 매우 짧아 기포 꼬리 영역의 압력강하는 매우 작다.

Fig. 9(b)에서 오일의 겉보기 속도가 일정하고 공기의 겉보기 속도가 증가할 때 액체 플러그 영역의 압력강하는 감소하고 기포 몸체 영역의 압력강하는 증가하였으며 기포 꼬리영역의 압력강하는 큰 변화가 없었다. 액체 플러그 영역의 압력강하가 감소한 원인은 공기의 겉보기 속도가 증가하며 액체 플러그 영역의 액체 속도 u_pf도 증가하고 전단응력도 증가하였지만 액체 플러그 영역의 길이가 감소하였기 때문이다. 기포 몸체 영역의 압력강하가 증가한 원인은 공기의 겉보기 속도가 증가하며 기포 몸체 영역의 길이가 크게 증가하였기 때문이다. 또한 기포 꼬리 영역은 영역의 길이가 짧아 압력강하 값이 작다.